Seu carrinho está vazio no momento!
Dados: comprimento = 1,5 × largura; área útil = 54 m²; trilha = 1 m ao redor; custo cerca = R$ 28,50/m; custo trilha = R$ 12,00/m².
a) Determinar largura e comprimento do canteiro
Seja w a largura (m). Então o comprimento L = 1,5·w = 3/2 w.
Área útil: A = L × w = (3/2) w × w = (3/2) w².
Temos (3/2) w² = 54.
Multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
3 w² = 54 × 2 = 108. (mostrando passo a passo: 54×2 = 108)
Dividir por 3:
w² = 108 ÷ 3 = 36. (108 ÷ 3 = 36)
Tirar raiz quadrada:
w = √36 = 6 metros.
Comprimento: L = 1,5 × w = 1,5 × 6 = 9 metros.
Resposta (a): largura = 6 m, comprimento = 9 m.
b) Área total incluindo a trilha
A trilha tem 1 m de largura em volta, logo as dimensões externas (com trilha) são:
largura externa = 6 + 2×1 = 6 + 2 = 8 m.
comprimento externo = 9 + 2×1 = 9 + 2 = 11 m.
Área total externa = 8 × 11.
Cálculo: 8 × 11 = 88 m².
Resposta (b): área total incluindo trilha = 88 m². (A área da trilha = 88 − 54 = 34 m².)
c) Comprimento da cerca (perímetro externo)
Perímetro do retângulo externo = 2 × (comprimento externo + largura externa)
= 2 × (11 + 8)
= 2 × 19
= 38 metros.
Resposta (c): comprimento da cerca = 38 m.
d) Custo total
Calcule separadamente:
Custo da cerca = 38 m × R$ 28,50/m.
Para evitar erro com decimais, fazemos em centavos: R$ 28,50 = 2850 centavos.
2850 × 38 = 2850 × (30 + 8) = 2850×30 + 2850×8.
2850 × 30 = 85500 (centavos).
2850 × 8 = 22800 (centavos).
Soma = 85500 + 22800 = 108300 (centavos) → ou R$ 1083,00.
Portanto, cerca = R$ 1.083,00.
Custo da trilha = área da trilha × R$ 12,00/m² = 34 × 12.
34 × 12 = 34 × (10 + 2) = 34×10 + 34×2 = 340 + 68 = 408.
Portanto, trilha = R$ 408,00.
Custo total = R$ 1.083,00 + R$ 408,00 = R$ 1.491,00.
Resposta (d): custo total = R$ 1.491,00 (Cerca: R$ 1.083,00; Trilha: R$ 408,00).
Gabarito sintético (para colar rápido)
a) Largura = 6 m; Comprimento = 9 m.
b) Área total (com trilha) = 88 m² (trilha = 34 m²).
c) Comprimento da cerca = 38 m.
d) Custo: cerca = R$ 1.083,00; trilha = R$ 408,00; total = R$ 1.491,00.
Rubrica de correção (valor total 10 pontos)
(3,0 pts) — item a): Procedimento algébrico correto para obter w² e w; resultado final correto (6 m e 9 m).
3,0 pts se mostra: (3/2)w² = 54 → 3w² = 108 → w² = 36 → w = 6 e L = 1,5·6 = 9.
2,0 pts se método correto mas esquece justificar 1,5 como 3/2 ou falta um passo algébrico;
1,0 pt se apenas tentativa numérica sem justificativa.
(2,0 pts) — item b): Determina corretamente as dimensões externas (8 e 11) e calcula área = 88 m².
2,0 pts: cálculo correto e indicação da área da trilha (34 m²).
1,0 pt: dimensões corretas, cálculo escrito mas com pequeno erro numérico.
(2,0 pts) — item c): Perímetro externo = 38 m correto, com fórmula indicada.
2,0 pts: cálculo correto.
1,0 pt: procedimento correto mas erro numérico.
(3,0 pts) — item d): Cálculo correto dos custos (cerca e trilha) e soma final correta.
3,0 pts: item totalmente correto (mostrando cálculo em centavos ou método correto para decimais).
2,0 pts: um dos custos correto, outro com pequeno erro;
1,0 pt: método correto mas erro de conversão.
Observação de pontuação parcial: Sempre dar crédito por raciocínio correto mesmo com pequenos erros aritméticos (até -1 ponto por erro de cálculo simples), mas retirar pontos se há confusão conceitual.
Exemplos de respostas de aluno (e pontuação)
Resposta A (excelente): Apresenta todos os passos algébricos, mostra dimensões 6 × 9, calcula área externa 88, perímetro 38, custos = R$1.083,00 + R$408,00 = R$1.491,00. → 10/10 pts.
Resposta B (parcial): Encontra 6 e 9, acha área externa 88, perímetro 38, mas calcula custo da cerca como R$1.080,00 (erro de multiplicação). → 8/10 pts (perde pontos em item d).
Resposta C (insuficiente): Faz regra de três errada no começo e obtém largura = 5; resto do raciocínio confuso. → 2–3/10 pts dependendo da justificativa.
Erros comuns a apontar para os alunos
Não transformar 1,5 em 3/2 levando à confusão ao lidar com w².
Esquecer de adicionar 2×1 m (os dois lados) nas dimensões externas.
Erros de ponto decimal ao multiplicar valores monetários (faça conversão para centavos!).
Confundir área da trilha com área do canteiro — sempre calcular área total externa e subtrair.